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[freeshost]

Soit un triangle isocèle rectangle en A. AB = 1 dm.
Choisissons un point P élément du segment [BC].
Soient alors les points :
S élément de [AB] tel que (PS)//(AC),
T élément de [AC] tel que (PT)//(AB).

Nous avons donc un triangle PST rectangle en P.

Chercher pour quel point P du segment [BC] le périmètre du triangle PST est maximisé.

[Vad]

Non mais c'est un exercice scolaire ça?

[Ixy]

D'après ce dessin : http://draw.to/D17kV32 BSP est isocèle en S (BSP est semblable à ABC). De plus SPTA est un rectangle, en particulier on a SA = PT. il en suit que PS + PT = SA + SB = SB et que le périmètre de PST ne dépend que de la distance ST.

[ST] est l'hypothénuse de SPT. En appliquant le théorème de Pythagore, on en est revenu à trouver t et s tel que
t^2 + s^2 soit maximal
sous la contrainte t + s = cte
Or t^2 + s^2 = (t+s)^2 - 2st.

On veut donc minimiser le produit st en préservant leur somme, ce qui se fait avec s ou t = 0. il faut donc que P soit confondu avec B ou C.

Mais je pense que tu pensais plutôt à minimiser le périmètre ce qui revient à maximiser le produit st en préservant leur somme. Or une propriété fréquemment employée en maths dit que la moyenne géométrique est inférieure à la moyenne arithmétique. Dans note problème, cela signifie st <= ((s+t)/2)^2. l'égalité est vérifié en prenant s = t = (s+t)/2 . C'est le cas optimal. Ce cas correspond à P milieu de [BC].

[freeshost]

J'ai édité mon message précédent.

Chercher pour quel point P du segment [BC] le périmètre du triangle PST est maximisé.

Je vous demandais de maximiser le périmètre.

[Ixy]

J'ai répondu P=B ou P=C

[freeshost]

J'ai répondu P=B ou P=C

Le truc, c'est que... si P est confondu avec B ou C, le "périmètre" égale 2 (voire 1, suivant comment on voit les choses) et, du coup, diminue...

Si tu analyses la bonne fonction, tu arrives à une asymptote.

[Ixy]

Ben trouve moi un exemple où le périmètre dépasse 2.

[freeshost]

Bon, oui, c'est vrai, le périmètre ne dépasse pas 2.

Et si P est élément de ]AB[ ? (Sur le segment [AB] mais confondu ni avec A ni avec B.)

Bon, je trouverai un problème différent plus subtil.

[Ixy]

Ben il n'y a pas de maximum seulement une limite supérieure en s'approchant de A ou B

Essaye de trouver une solution pour la minimisation de périmètre (J'ai déjà proposé une solution)

[freeshost]

Ben, pour la minimisation du périmètre, tu as déjà donné la solution : P comme milieu de [BC].

[freeshost]

Allez ! Un autre problème !

Soient, toujours dans un repère orthonormée bidimensionnel, les points :

- O(0;0),
- A(1;0),
- B(0;1),
- C(1;1).

Soit le cercle R(1) de centre C et de rayon 1.
Soit le cercle R(2) tangent à R1, [OA) et [OB).
Soit le cercle R(3) tangent à R2, [OA) et [OB).
Soit le cercle R(n) tangent à R(n-1), [OA) et [OB).

Calculer la somme des aires des cercles R(i), i allant de 1 à n, n tendant vers +inf. [Non, il ne s'agit pas de i le nombre complexe. ]

[freeshost]

Un autre :

Soient, dans le plan V2 :

- un cercle C1 de centre A(0;0) et de rayon 1,
- un cercle C2 de centre B(4;0) et de rayon 2.

Déterminer les équations cartésiennes des droites tangentes à C1 et à C2.

Un autre :

Soient les douze régions métropolitaines actuelles de la France.

Pour aller de la Bretagne à la Nouvelle-Aquitaine, je traverse deux frontières interrégionales (celle de Bretagne au Pays-de-la-Loire, puis celle du Pays-de-la-Loire à la Nouvelle-Aquitaine).

Alain choisit une région parmi ces douze. B en choisit aussi une parmi ces douze. [A et B peuvent éventuellement choisir la même région.]

Quelle est l'espérance mathématique de frontières entre A et B ?

[Ixy]

Premier problème :

Voir dessin

Il s agit de trouver les cordonnées M_k (x_k, y_k = x_k) des points tangents entre R_k et R_(k+1) ainsi que les rayons r_k pour k allant de 1 a n.

D apres dessin, on a :
r_{k+1}(\sqrt{2}/2+1) = x_k \\
Sur la diagonale on lit en distance \sqrt(2) x_{k+1} + 2 r_{k+1} = \sqrt(2) x_k



On peut deduire le terme x_k pour commencer :
x_k = (3-2 sqrt(2))^(k-1) (1-sqrt(2)/2)
Puis r_k = (3-2 sqrt(2))^(k-1) suite géométrique.

La reponse est donc pi (1-u^n)/(1-u)
avec u = 17 - 12sqrt(2)
A la limite pi/2(1+3/4sqrt(2))
Bon calcul à verifier

[freeshost]

Voilà : le rayon du premier cercle égale 1.

Il s'agit ensuite de calculer le rayon du deuxième cercle. On peut alors poser l'équation :

x + sqrt(2)x + 1 = sqrt(2)

On trouve alors x = (sqrt(2) - 1)(sqrt(2) + 1), qui correspond au rapport entre les rayons de deux cercles "consécutifs" (puisque le rayon du premier cercle égale 1).

Le rapport entre les aires de deux cercles consécutifs est le carré de ce rapport entre les rayons. Ce sera ((3 - 2sqrt(2))/(3 + 2 sqrt(2)). Ce dernier nombre correspond alors à la suite géométrique des aires des cercles.

Ensuite... on applique les propriétés des suites géométriques. On sait que la première aire égale pi.

La somme des aires égale donc pi + pi*R + pi*R² + ... + pi*R^n (R = la raison, pas le rayon...).

On peut mettre en évidence pi. Cela donne : pi(1 + R + R² + ... + R^n).

Avec l'identité remarquable, on peut transformer en : pi(R^(n+1) - 1)/(R - 1).

Comme 0 < R < 1 et que n tend vers +inf, cela donne : pi(-1)/(R - 1).

Cela donnera finalement pi(3 + 2sqrt(2)/4sqrt(2). Environ 3.237.

Si je ne me suis pas trompé...

[Ixy]

Il semble qu'on ait trouvé la même chose cool !

Au fait une technique pour se débarrasser des radicaux au dénominateur : http://licoly.ac-rouen.fr/maths/node18.html