Comme je suis un visuel, j'ai d'abord dessiné ton problème de maths.
J'ai mis le piquet à gauche du cercle du pré.
L'axe des abscisses part du piquet (point zéro des X) et passe par le centre du pré circulaire (X=10).
L'axe des ordonnées passe par le piquet et est perpendiculaire à celui des abscisses.
J'ai d'abord calculé l'abscisse du point d'intersection des 2 cercles (point haut ou point bas, même combat).
Système de 2 équations à 2 inconnues et un paramètre L = longueur de la corde :
éq1: (x - 10)^2 + y^2 = 10^2
éq2: x^2 + y^2 = L^2
On soustrayant éq2 - éq1 , je trouve x = L^2/20
On remarque une symétrie avec l'axe des X.
Je regarde que la partie haute du dessin, après on multipliera par 2.
Je veux calculer l'aire supérieure A1 du pré compris entre les abscisse x=0 et x=L^2/20.
Puis je calculerai l'aire supérieure A2 que la chèvre peut brouter entre les abscisses x=L^2/20 et x=10.
Pour calculer l'aire A1 je fais la somme de petits rectangles de largeur horizontale dx et de hauteur y tirée de l'éq1.
Ici y=(10^2 - (x - 10)^2)^0.5
Si je note I[a,b] f(x).dx l'intégrale de x=a à x=b de la fonction f(x) par rapport à x (c'est dur en mode texte)
Alors j'obtiens pour A1 la valeur
A1=I[0,L^2/20] ((10^2 - (x - 10)^2)^0.5).dx
et pour calculer A2 je fais la somme de petits rectangles de largeur horizontale dx et de hauteur y tirée de l'éq2.
Ici y=(L^2 - x^2)^0.5
Alors j'obtiens pour A2 la valeur
A2=I[L^2/20,L] ((L^2 - x^2)^0.5).dx
Ma contrainte est que 2A1+2A2=0.5 pi 10^2
que j'écris 100 pi = 4A1+4A2 (car je vois bien 100 pi = 314.1592654
En regardant l'aire A2, je vois que c'est une formule qui me demande de trouver la primitive de la fonction (a^2 - x^2)^0.5 avec ici a=10
C'est une primitive connue qui vaut
1/2 (a^2 arcsin(x/a) + x (a^2 - x^2)^0.5)
Si on a oublié son cours, on peut vérifier sur
http://www.matheureka.net/Q45.htm
exemple c).
Pour l'aire A1, je dois trouver la primitive de la fonction (a^2 - (x - b)^2)^0.5 avec ici a=10 et b=10.
De la même manière, on trouve la primitive
1/2 (a^2 arcsin((x-b)/a) + (x-b) (a^2 - (x-b)^2)^0.5)
En reprenant l'équation 100 pi = 4A1+4A2, j'obtiens une équation pas piquée des hannetons pour L de la forme :
100 pi = 2 [10^2 arcsin((x-10)/10) + (x-10)(10^2-(x-10)^2)^0.5] {x=0;x=L^2/20} + 2 [L^2 arcsin(x/L) + x (L^2-x^2)^0.5] {x=L^2/20;x=L}
Je me suis programmé la fonction
2 [10^2 arcsin((L^2/20-10)/10) + (L^2/20-10)(10^2-(L^2/20-10)^2)^0.5]
+ pi [10^2 + L^2]
- 2 [L^2 arcsin(L/20) + L^2/20 (L^2-(L^2/20)^2)^0.5]
et j'ai regardé quand elle valait 100 pi et j'ai trouvé L=11.58728473
Avec plus de décimales pour pi, on peut trouver L=11.587284730181215
Est-ce qu'il y a une formule donnant L directement ?
Cette formule où L est en polynôme et en même temps dans une fonction trigo me fait penser à l'astro où l'équation de Képler E-e.sinE=M qui est une équation transcendante ne se résoud que par itération.
(j'espère que je n'ai pas fait de faute de frappe)
Et oui je vois tout de suite dans ma tete!!! Tu m'a appris que je suis visuelle, dommage que je ne le savais pas a l'ecole!! Toujours pas le temps de trouver, mais c'est evident sur l'image dans ma tete!!
