[index Math] Pour discuter de mathématique...

[Alone3545]

Quelle est la probabilité que la cru centennal de Paris aurait du se produire sachant que la dernière date curieusement de 1910 donc faite pas l'erreur

[Ixy]

https://googleblog.blogspot.fr/2016/03/ ... o.html?m=1
What we learned in Seoul with AlphaGo

[Alone3545]

Je ne sais presque pas parler anglais. Alors si tu pourrais m envoyer un lien pour ma réponse ou me répondre, en francais c'est le top!

[Ixy]

et bien pour ce genre d'évenènemts (catastrophes naturelles), en première approximation, le nombre d'incidents dans un intervalle donné suit une loi de Poisson et le temps entre deux incidents une loi exponentielle. Ce sont les mêmes lois que dans la situation ou on attend un bus (nombre de bus dans une heure, temps entre deux bus). Mais dans les deux cas il faut connaître la fréquence exacte de l'incident.

[freeshost]

A-t-on découvert une loi ordonnant les nombres premiers ?

Plus exactement : Unexpected biases in the distribution of consecutive primes (pdf en anglais)

Bon, on reste encore aux conjectures.

Et ce n'est pas du tout ma spécialité, les nombres premiers, surtout à ce niveau.

[Ixy]

Je crois que c'est la spécialité de personne à ce niveau même les experts ont été surpris

[Ixy]

Cadeau !

17.
Remarquons d'abord que 11x3 - 16x2 = 1
De façon plus générale les solutions de 11k-16k' = q sont k = 3q + 16 p k' = 2q +11 p. (voir la résolution des équations diophantiennes).

Cela signifie que si on a une maison bleue suivie d'une maison jaune B J à la place i ou inversement, alors à la place i + 33 il va y avoir un problème. Donc il y aurait au plus i + 32 maisons.

On serait donc tenter de mettre la première alternance (B J en supposant qu'on commence par B) le plus tard possible, c'est-à-dire à la dixième place. Mais on ne peut pas car 6 + 16 = 11 + 11.


Il faut donc aller plus loin et résoudre les équations diophantiennes de "rang" supérieur et regarder les solutions positives les plus petites.
q = 2
k = 6 k'= 4 pas de danger
q=3
k = 9, k' = 6
q = 4
k = 12, k' = 8
q = 5 (c'est le cas qui nous a posé problème)
k = 15 k'=10 ////// k=-1 k'=-1
q = 6
k = 2 k' = 1
q = 7
k = 5 k' = 3 (pas de danger)
q = 8
k = 8 k' = 5
q = 9
k = 11 k'=7
q = 10
k = 14 k'=9 // k=-2 k'=-2
q = 11
k = 1 k'=0 (évident)

...

Les autres cas qui peuvent nous déranger sont de la forme q = 11r + 1, q= 11r + 5, q=11r + 6, q=11r+10 (pour que |16k'| soit inférieur ou égal à 32)
q= 12
k = 4 k' = 2

q=16
k = 0 k'=1 (évident)
q = 17
k = 3 k'=1 (zone dangereuse)
q=21
k=-1 k'=-2
q = 23
k=5 k' = 2
q = 32
k=0 k'=-2 (zone dangereuse)
Ensuite q devient trop grand.


Donc les seul cas qui nous dérangent en première approche sont les cas q=6 et q = -5, et s'il y a un B/J à la place i, il y a aussi un B/J à la place i +/- 6r, i +/- 5r, du moins jusqu'à un certain nombre (tel qu'il existe resp. toujours une maison à i + 22 et une maison à i + 16).

La façon dont on remplit nos 11 premières maisons est fonction de notre confiance.
Si l'on dit par exemple que l'on a plus de 27 maisons, il est certain que c'est impossible car alors sans contrainte sur les 11 premières maisons et en respectant la règle des +/- 5 et des +/- 6, on se retrouve avec les 11 maisons uniformes.
On est trop optimiste. Soyons-le un peu moins. On se limite à n=26, ce qui signifie que la règle des +6 est interdite à partir de i=5. Mais ça n'empêche pas le problème mentionné ci-dessus.
On se limite à n=25 = 22 + 3
La règle est interdite pour i=4,5
On a une structure stable qui est la suivante :
B B B B J B B B B J B
On voit qu'en effet ça marche jusqu'à n=25.
C'est donc pour moi le nombre maximal de maisons.

[freeshost]

Bon, je n'ai pas le temps de lire maintenant tout ton raisonnement. Mais la solution est bien 25.

[Il faudra que je m'intéresse plus aux équations diophantiennes, et à l'arithmétique en général.]

[Ixy]

Par contre pour la 18 j'ai aucune idée

[Ixy]

question 15
Le nombre de diviseurs de 2^p_1 x 3^p_2 x ..... est (p_1 + 1)(p_2 + 1)......

Remarquons que faire passer p_k de 0 à 1 est équivalent à faire passer un autre p_j à 2 p_j + 1 (différence : p_j + 1) pour ce qui est du nombre de diviseurs.

Par exemple il vaut mieux prendre 2x2x2x3 = 24 plutôt que 2x3x5 = 30.
car on a le même nombre de diviseurs mais 5 > 2x2

L'idée est donc d'ajouter des nouveaux diviseurs premiers mais de faire attention au cas où il est plus intéressant d'ajouter à l'exposant d'un facteur plus petit.
On peut lister les cas litigieux pour les petits nombres premiers (c'est la liste des u_n = 2u_{n-1} + 1) :
2
Rang u_n Valeur 2^u_n Différence 2^(u_{n+1} - u_n)
1 1 2 2
2 3 8 4
3 7 128 16
4 16 (trop grand) ...

3
Rang
Rang u_n Valeur 3^u_n Différence 3^(u_{n+1} - u_n)
1 1 3 3
2 3 27 9
3 7 (probablement trop grand)

5
Rang
Rang u_n Valeur 5^u_n Différence 5^(u_{n+1} - u_n)
1 1 5 5
2 3 125 25

En faisant la liste dans l'ordre croissant
4 (2) 9 (3) 16 (2) 25 (5)

Allons-y en incrémentant là où c'est le plus économique l'exposant:
2
2 x 3
2 x 2 x 2 x 3 = 24 (5>4)
2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120
2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 7 = 840
2x2x2x3x3x5x7 (11 > 9) > 5000

On a pas eu à aller très loin.
Un nombre optimal est 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 7 = 840 (4x2x2x2 = 32 diviseurs) mais il est trop petit.
On pourrait le multiplier par 3 ce qui donne 2 520 (4x3x2x2 = 48 diviseurs) mais ça ne nous dit pas s'il y a d'autre nombre optimal entre 2 500 et 3 000. Seulement en essayant de retrancher un nombre et en ajoutant un facteur on arrive pas à faire mieux.

[freeshost]

Allez, un petit problème facile.

1. Un manchot a parcouru 6.2 km en 75 minutes. Quelle fut sa vitesse moyenne ?

2. Sachant que, s'il n'avait pas discuté avec un chum par hasard, il aurait effectué le même parcours en dix minutes de moins, quelle aurait été sa vitesse moyenne ?

3. Si le manchot prévoit de marcher 20 km, en combien de minutes peut-il prévoir les parcourir ?

[Ixy]

Ca doit être le champion du monde des manchots de la marche rapide

[freeshost]

Allons, allons, les manchots nagent aisément à des vitesse de 5-10 km/h. J'imagine qu'ils marchent plus vite qu'ils ne nagent (en l'absence de courant et de vent).

Le manchot dont il est question aurait pu marcher plus vite s'il n'avait pas eu le sac sur le dos.

[astro]

Allez, un petit problème facile.

1. Un manchot a parcouru 6.2 km en 75 minutes. Quelle fut sa vitesse moyenne ?

2. Sachant que, s'il n'avait pas discuté avec un chum par hasard, il aurait effectué le même parcours en dix minutes de moins, quelle aurait été sa vitesse moyenne ?

3. Si le manchot prévoit de marcher 20 km, en combien de minutes peut-il prévoir les parcourir ?

1. 4,96 km/h
2. 5,72 km/h
3. Là ça se corse . On va dire deux solutions :
a. Il ne rencontre personne (peu probable) et/ou temps de parcours sans compter les arrêts : 209.79 min ~ 3h30
b. Si on part du principe qu'il va s'arrêter 10 minutes pour discuter avec quelques tous les 6.2 km , il faut rajouter 3.23 rencontres, qu'on va arrondir à 3. Donc + 30 minutes soit environ 4h. Qu'on retrouve plus simplement en faisant 20km à l'allure de 4.96 km/h (241,94 min).

Manchot bavard

[Anty28]

Tous les carrés de nombres premiers supérieurs à 3 sont de la forme 24k+1.

Ce n'est pas très compliqué à démontrer, mais je trouve ça marrant.