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[Ixy]

On sait que les nombres sont nécessairement divisibles par 3.
L'ordre des chiffres n'a pas d'importance.
On peut réutiliser ses calculs si ou tombe sur un nombre qui a les même chiffres

Par ex ac l'énoncé on a

1 1 4 OK
135 OK
1458 OK
225 OK ( Donc 2025 ok 2052 ok )
234 OK
27 OK
66 OK
99 OK

Il n y a pas énormément de calculs mais bon il y en a quand même. La réponse n'est pas tous les multiples de 3, 2013 et 2031 ne marchent pas.

[freeshost]

freeshost, je m'adresse à toi car tu avais posté, dans un topic d'énigmes, ce lien : http://homepage.hispeed.ch/FSJM/documen ... nces_F.pdf que j'ai découvert hier, et voyant ce topic de mathématiques je me suis dit que peut-être toi ou quelqu'un d'autre saurait m'apporter une aide pour l'exercice 17...

Étant donné que u(n+1) est toujours la somme des cubes des chiffres de U(n), listons les cubes des chiffres :


0³ = 0
1³ = 1
2³ = 8
3³ = 27
4³ = 64
5³ = 125
6³ = 216
7³ = 343
8³ = 512
9³ = 729

Nous pouvons donc aller en sens inverse. Quelles sommes de cubes de chiffres sont égales à 153 ?

Les chiffres de 6 à 9 ne peuvent pas composer le nombre précédent puisque chacun de leurs cubes excède 153. Tentons le 125.

Avec le 125, seuls les sommes suivantes sont possibles : 125 + 27 + 1 (+ 0).
Sans le 125, aucune somme n'aboutit à 153.

Nous savons donc que le nombre précédant 153 était composé des chiffres 1, 3, 5 et éventuellement le 0. On doit donc tester les possibilités suivantes :

- à trois chiffres :

531 ; 513 ; 351 ; 315 ; 153 (connue) ; 135.

à quatre chiffres :

5310 ; 5301 ; 5130 ; 5103 ; 5031 ; 5013 ; 3510 ; 3501 ; 3150 ; 3105 ; 3051 ; 3015 ; 1530 ; 1503 ; 1350 ; 1305 ; 1053 ; 1035.

Cela ferait beaucoup de nombres à tester.

Mais nous pouvons déjà considérer les nombres strictement supérieurs à 2916 comme des culs-de-sacs (quand on remonte à la source) étant donné que celui-ci est la plus grande somme de quatre cubes de chiffres (4 · 9⁴). Soulignons alors au fur et à mesure les nombres "en bout de course" et mettons en italique les nombres fertiles.

153 (nombre "réflexif" dans cette relation) ; 5310 ; 5301 ; 5130 ; 5103 ; 5031 ; 5013 ; 3510 ; 3501 ; 3150 ; 3105 ; 3051 ; 3015.

Nous restent :

1530 ; 1503 ; 1350 ; 1305 ; 1053 ; 1035 ; 531 ; 513 ; 351 ; 315 ; 135.

Nous nous apercevons que :

1530 = 729 + 729 + 64 + 8 (seule possibilité)
1503 = aucune possibilité
1350 = ...

Mais bon, avouez que ce serait long de continuer ainsi.

Essayons autre chose :

La somme des chiffres est toujours a³ + b³ + c³ + d³. Comme l'a dit Ixy-Fermat, comme 153 est multiple de 3, on doit partir d'un multiple de 3.

Les chiffres des milliers et des centaines sont respectivement 2 et 0 (années de 2001 à 2099) ou respectivement 2 et 1 (année 2100).

On peut déjà observer le cas 2100. 2100 => 9 => 729 => 1080 => 513 => 153. OK, on le prend.

Prenons donc les cas entre 2001 et 2099.

On sait que deux nombres composés des mêmes chiffres (aux chiffres zéros près) auront la même image. Ainsi, si 2004 marche, 2040 aussi. Tout cela nous amène à tester 17 nombres (au lieu de 31).

2001 => 9 => 729 => 1080 => 513 => 153. 2010 donc aussi.
2004 => 72 => 351 => 153. 2040 donc aussi.
2007 (comme 72) => 351 => 153. 2070 donc aussi.
2013 => 36 => 243 => 99 => 1458 => 702 (comme 72) => 351 => 153. 2031 donc aussi.
2016 => 225 => 141 => 66 => 432 (comme 243) => 99 => 1458 => 702 (comme 72) => 351 => 153. 2061 donc aussi.
2019 => 738 => 885 => 1149 => 795 => 1197 => 1074 => 408 => 576 => 684 =>792 (comme 729) => 1080 => 513 => 153. 2091 donc aussi.
2022 => 24 (comme 2004). OK
2025 (comme 225). OK, aussi pour 2052.
2028 => 528 => 645 => 405 => 189 => 1242 => 81 (comme 1080). OK, aussi pour 2082.
2034 (comme 242). OK, aussi pour 2043.
2037 => 378 (comme 738). OK, aussi pour 2073.
2046 => 288 => 1032 (comme 2013). OK, aussi pour 2064.
2049 => 801 (comme 1080). OK, aussi pour 2094.
2055 => 258 (comme 528). OK.
2058 (comme 528). OK, aussi pour 2085.
2067 => 567 (comme 576). OK, aussi pour 2076.
2079 (comme 729). OK, aussi pour 2097.
2088 (comme 288). OK.

Donc, au moins tous les multiples de 3 de 2001 à 2100 aboutissent à 153. Il y a donc 34 possibilités.

Ce qui est marrant, c'est que ça marche pour beaucoup d'autres multiples de 3. Il serait intéressant de voir si l'on peut démontrer que ça fonctionne pour tout multiple de 3 strictement positif, ou s'il y a au moins un contre-exemple.

Bon, il doit sûrement y avoir d'autres moyens plus rapides d'arriver à la solution.

[Ixy]

Bien joué freeshost. Je me suis trompé sur 2031

[Ixy]

J'ai lancé un algo il semblerait que ce soit vrai

Pour Un modulo 3 c'est plus compliqué
Il y a 1 comme point fixe
Mais aussi les cycles 244 136 et 919 1459

[freeshost]

Oui, j'ai aussi remarqué quelques cycles parmi les nombres non multiples de 3, notamment un nombre qui se lèche le cul avec la langue comme le 153 : le 370 dans la classe 1 modulo 3, et le 371 dans la classe 2 modulo 3.

Du coup, sais-tu si on peut trouver quels nombres naturels à trois chiffres sont images de eux-mêmes, donc tels que x³ + y³ + z³ = 100x + 10y + z (et démontrer que ce sont les seuls) ? [Il n'y en pas à deux chiffres ; il y a 1 et 0 en ce qui concerne ceux à un chiffre. Mais pourrait-on y aller par quatre chiffres (et quatre chemins ), puis cinq, puis... ?]

Avec quel logiciel libre as-tu lancé quel algorithme ?

Connais-tu de bons livres d'arithmétique complets qui permettent de résoudre ce genre de problèmes, qui contiennent tous les théorèmes démontrés jusqu'à maintenant en arithmétique ? (en anglais si pas en français)

[freeshost]

Bon, comme tu peux le voir, pour ce genre de problèmes, à chaque fois, je mets beaucoup de temps. C'est pour ça que, à chaque épreuve (comme celle du lien indiqué par Paraskevi), je laisse tomber les problèmes 17 et 18, pour me concentrer sur les problèmes 1 à 16. On doit résoudre les problèmes 1-18 en trois heures dans ma catégorie. Et le première critère de classement et le nombre de problèmes résolus (donc 18 au maximum), le suivant étant le nombre de points obtenus (171 donc au maximum).

Si tu as essayé ton algorithme, as-tu trouvé des nombres naturels multiples de 3 qui n'aboutissaient pas à 153 ?

[Ixy]

Oui, j'ai aussi remarqué quelques cycles parmi les nombres non multiples de 3, notamment un nombre qui se lèche le cul avec la langue comme le 153 : le 370 dans la classe 1 modulo 3, et le 371 dans la classe 2 modulo 3.

Du coup, sais-tu si on peut trouver quels nombres naturels à trois chiffres sont images de eux-mêmes, donc tels que x³ + y³ + z³ = 100x + 10y + z (et démontrer que ce sont les seuls) ? [Il n'y en pas à deux chiffres ; il y a 1 et 0 en ce qui concerne ceux à un chiffre. Mais pourrait-on y aller par quatre chiffres (et quatre chemins ), puis cinq, puis... ?]

Avec quel logiciel libre as-tu lancé quel algorithme ?

Connais-tu de bons livres d'arithmétique complets qui permettent de résoudre ce genre de problèmes, qui contiennent tous les théorèmes démontrés jusqu'à maintenant en arithmétique ? (en anglais si pas en français)

Non je ne connais pas de livre dessus. Là j'ai utilisé Python qui est mon langage préféré
J'ai testé les nombres jusqu'à quatre chiffres, après ce n'est tout de façon pas possible car les puissances de 10 deviennent trop grandes par rapport à 9^3. J'ai testé les points fixes je crois qu'il n'y a que 0 1 et 153 mais ensuite j'ai cherché les cycles de longueur 2, 3 ou 4.

[freeshost]

Comme dit précédemment, il y a au moins 370 et 371 que j'ai trouvés comme points fixes.

Comme cycle de plus d'un nombre, j'avais trouvé 160 => 217 => 352 => 160 ...

[Ixy]

AlphaGo a remporté sa deuxième manche face à Lee Sedol. Il paraît que c'était un match de haut niveau, mais AlphaGo fait des coups trop imprévisibles pour que Lee Sedol puisse tout analyser

[Ixy]

AlphaGo a d'ores et déjà gagné le match contre Lee Sedol 3 manches à 0

http://www.lemonde.fr/pixels/article/20 ... 08996.html

[freeshost]

Tu joues au go, Ixy ?

J'ai rencontré un autre Asperger qui a commencé à m'expliquer les règles.

[Ixy]

Non je ne sais pas jouer

[freeshost]

Quand je saurai bien les règles du jeu, j'ouvrirai une discussion sur le go en plus de celle sur les échecs. Bienvenue !

[freeshost]

AlphaGo a remporté sa deuxième manche face à Lee Sedol. Il paraît que c'était un match de haut niveau, mais AlphaGo fait des coups trop imprévisibles pour que Lee Sedol puisse tout analyser

En tout cas, j'aime bien l'air de piano qui y est joué au début et à la fin de la vidéo.

[Alone3545]

Bonjour je viens de passer le est de QI suprême sur neurozinzin qui est très rapide

http://www.neurozinzin.com/test-de-QI-supreme-61.html

Et plusieurs questions m'ont interpellé notamment la question 7 pour deviner l'age du marin, je ne sais pas si il y a une technique particulière,

pour le Condorcet j'ai comprit!

Pour la question 12 : "Plus il y a de gruyère plus il y a de trous. Plus il y a de trous, moins il y a de gruyère. Donc plus il y a de gruyère":
J'ai répondu plus il y a de trou mais j'ai un doute sur les autres réponse. J'ai du mal sur ce raisonnement mathématique, c'est appramment une inegalité inférieur ou égale à mais j'ai pas trop comprit

Pour la question 13 sur la fleche qui a déjà parcouru la moitié de sa distance et ainsi de suite j'ai répondu qu'un calcul différentiel permet de résoudre cette équation. Je suis presque convaincu que la fleche atteinds bel et bien la cible.

J'ai obtenu 63 en QI. apres je sais que c'est pour rigoler!