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[Ixy]

Voici une question de probabilités :


J'envoie un message binaire (celui-ci : 01) à un ami par un canal de communication.

Seulement ce canal n'est pas parfait et induit des erreurs.

Il y a une probabilité p que le 0 (respectivement 1) soit modifié en 1 (respectivement 0).


1) Quelle est la probabilité que mon ami reçoive le bon message ?

2) Je suis ingénieux et au lieu de lui envoyer une fois le message je lui envoie trois fois. Quel raisonnement mon ami doit faire dans le cas où une erreur s'est produite ?
Même question qu'en 1 dans ce cas là (après décodage "intelligent").


Pour la culture cet exercice est un exemple d'introduction à la théorie des communications de Shannon. Ici on a réduit l'erreur mais on est moins économe au niveau du nombre de caractères (coding rate). La théorie de Shannon donne des relations entre les deux pour des codes optimaux .

[freeshost]

1) (1 - p)^n, je suppose.

[Ixy]

Oui (ici pour simplifier n=2)

[freeshost]

2) Ça dépend de si p > ou = ou < 0.5 ?

[Ixy]

Exact On peut considérer que p est petit, c'est-à-dire p < 0.5

Pour la deuxieme question on peut considerer simplement le cas n=1, un seul caractere sinon les calculs sont inutilement compliques

[freeshost]

Ben, dis-moi si je me trompe. Si p <0.5 , on considère la valeur qui aboutit une majeure partie de fois. [Bon... si n est pair, il peut y avoir autant de 1 que de 0, il me semble.]

[Ixy]

Oui en effet c'est ça.

Et si je répète trois fois le même caractère, quel va être le risque d'un mauvais décodage ?

[freeshost]

1 - p³ ?

[Ixy]

Je pense que tu veux dire qu'on a une probabilité 1-p^3 de retrouver le bon message. Non le risque est plus élevé !

[freeshost]

Voyons, si p (compris entre 0 et 1) est la probabilité qu'une valeur soit fausse, 1 - p est la probabilité qu'elle soit juste.

Ah ! alors, pour que les n valeurs soient juste, la probabilité est (1 - p)^n.

[Ixy]

Oui mais maintenant tu es capable de détecter des erreurs


exemple

A envoie comme message 0
EN triplant : 000
1 erreur d'ingligée:
B reçoit 010
B décode : 0

La question est quelle est la probabilité que B se trompe en prenant le caractère qui apparaît le plus de fois

[Ixy]

On peut s'aider d'un arbre de probabilités

http://fr.wikipedia.org/wiki/Arbre_de_probabilit%C3%A9

[freeshost]

Je reviendrai plus tard. Là, j'ai juste le temps de jeter un rapide coup d’œil.

[freeshost]

Allez ! un problème de base pour le chapitre des probabilités : (pas pour toi, Ixy, ce serait trop facile )

Quatre chaises (C1, C2, C3 et C4) sont alignées et libres. Alan, Bryan, Conan et Dylan décident de s'y asseoir, un par chaise.

Dans combien d'ordres différents peuvent-ils s'asseoir sur ces chaises ?