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[G.O.B.]

Soit la suite U définie telle que u[n+2] = a*u[n+1] + b*u[n],

On en arrive "donc" à l'équation :

y^(n+2) = a*y^(n+) + b*y^(n)

~y² = ay + b

En la résolvant comme une équation du second degré, on trouve :

y = (a + (a² + 4b)^(1/2))/2

y = le nombre d'or si a = 1 et b = 1 (cas de la suite de Fibonacci)

C'est à peu près ça qu'on a vu ensemble samedi, Ixy ?

En attendant d'être servi au restau avec un calepin et un stylo, normal quoi !

[Ixy]

Oui c'est ce qu'on a vu ensemble

[Ixy]

Limite


Déterminer la limite de

(sqrt(1+x)-1)/x quand x tend vers 0.


On rappelle l'identité remarquable qui pourra être utile (a-b)(a+b) = a^2 - b^2

[freeshost]

limite de [(x+1)² - 1]/x lorsque x tend vers 0
= limite de [(x+1)² - 1²]/x lorsque x tend vers 0
= limite de (x+1+1)(x+1-1)/x lorsque x tend vers 0
= limite de (x+2)*x/x lorsque x tend vers 0
= limite de (x+2) lorsque x tend vers 0
= x+2
= 0+2
= 2

On a donc une fonction continue sauf en (0;2).

En fait, cette fonction ressemble en tous points à celle f(x) = x + 2, à la différence qu'il y a un "trou" en le point (0;2).

[Ixy]

sqrt : ici c'est la racine carrée

[G.O.B.]

@ Ixy & freeshost : 12!*8!*37*210 pour le nombre de combinaisons, je savais bien qu'il y avait une histoire de factoriels

[freeshost]

@ Ixy & freeshost : 12!*8!*37*210 pour le nombre de combinaisons, je savais bien qu'il y avait une histoire de factoriels

Tu peux être sûr que, dans ce genre de problèmes (calculer le nombre de possibilités que...), il y ait des factorielles.

Tiens, voici quelques problèmes avec des factorielles :

1. Deborah a huit chaussettes rouges et dix chaussettes noires dans un sac. Elle tire au hasard une chaussette. Quelle est la probabilité qu'elle tire une chaussette rouge ?

2. Valentino veut disposer cinq boules de cinq couleurs différentes sur une rangée de cinq trous alignés. Combien y a-t-il d'ordres possibles ?

3. Wladimir a, dans un sac, trois boules vertes, deux boules rouges et quatre boules jaunes. Il tire deux boules en même temps. Quelle est la probabilité que les deux boules tirées soient de couleurs différentes ?

4. Stephano doit choisir six numéros parmi soixante. Quelle est la probabilité qu'il en ait quatre exactement ?

5. Ulysse a cinq boules vertes, deux boules rouges, trois boules oranges. Il doit les disposer alignées de gauche à droite. Combien y a-t-il de combinaisons possibles ? (si deux boules de même couleur sont interchangées, la combinaison reste la même)

6. Kasper tire trois fois un dé normal. Il note à chaque fois le résultat. A la fin, il note la somme des résultats. Quelle est la probabilité que la somme des résultats soient un nombre premier ?

7. Francis veut une coupe à quatre boules. Il a le choix entre quatre arômes : fraise, citron, orange et chocolat. Combien a-t-il de possibilités différentes ? (une coupe peut être composée de quatre boules du même arôme comme de quatre boules de quatre arômes différents ; la position des boules dans la coupe n'importe pas)

[Manichéenne]

1. 4/9

2. 5!

3. 3/9*2/8+2/9*1/8+4/9*3/8

4. Stephano doit choisir six numéros parmi soixante. Quelle est la probabilité qu'il en ait quatre exactement ? -> j'ai pas compris l'énoncé.

5. 10!/(5!*2!*3!)

6. (nombre de combinaisons de 3 parmi 6) - (nombre de combinaisons qui mènent à 3, 5, 7, 11, 13, et 17).

7. 4^4

(non relu, non vérifié, juste quelques souvenirs et un peu d'intuition - j'ai du me louper puisque je n'ai pas toujours des factorielles)

[freeshost]

1. Juste.
2. Juste.
3. Peux-tu expliquer le comment de tes calculs ? Je n'arrive pas au même résultat.
4. Il coche six numéros parmi soixante (de 1 à 60). Quelle est la probabilité de tirer quatre numéros correspondant au tirage au sort de six numéros donnés (comme à l'Euro Millions) ?
5. Juste.
6. Le nombre de possibilité d'obtenir une somme nombre premier serait plutôt l'opposé. Et au final, quel résultat ?
7. Non, ce n'est pas aussi simple. [fraise-orange-citron-chocolat donne la même possibilité que chocolat-orange-citron-fraise]

[Ixy]

Pour la dernière :

on les choisit toutes : 1 possibilité
on en choisit 3 : 4 possibilités (celle qu'on oublie) x 3 possibilités (celle qu'on double) = 12 possibilités
on en choisit 2 : 2 parmi 4 couples : 6 possibilités x ( X X X O ou X X O O ou X O O O -> 3 possibilités) = 18 possibilités
on en choisit 1 : 4 possibilités
Au final : 1 + 12 + 18 + 4 = 35 possibilités

En fait, il s'agit d'un cas particulier de la question classique mais assez difficile si on ne connaît pas de combinaison avec répétition. J'ai du utiliser ça pour mes écrits de l'ENS.

Le problème est de trouver le nombre de combinaisons avec répétition pour p boules avec n choix.

Cela équivaut à mettre p pièces dans n sacs.

On peut remarquer que chaque possibilité correspond à une notation binaire de p + (n- 1) bits avec (n - 1) un qui représentent les sacs.

Par exemple, pour p = 5, n = 3 1 une pièce dans le sac 1, 3 pièces dans le sac 2, 1 pièce dans le sac 3 est représenté par
O | O O O | O
0 pièce dans le sac 1, 5 pièces dans le sac 2, 0 pièce dans le sac 3
| O O O O O |


Et en fait le nombre de combinaison avec répétition pour p choix à faire parmi n est égale à n - 1 parmi p + (n - 1)

En notation factorielle : (p + n - 1)!/((n-1)!(p!))

Pour revenir à notre problème :
p = 4
n = 4
Cela donne :
7!/(3!4!)=7x6x5/6=35

On tombe sur le même résultat, tout va bien

[Ixy]

Limite


Déterminer la limite de

(sqrt(1+x)-1)/x quand x tend vers 0.


On rappelle l'identité remarquable qui pourra être utile (a-b)(a+b) = a^2 - b^2

Toujours d'actualité

[freeshost]

sqrt : ici c'est la racine carrée

Ah ! donc :

limite de [(x + 1)^(1/2) - 1]/x lorsque x tend vers 0
= limite de [(x + 1)^(1/2) - 1]/x * [(x + 1)^(1/2) + 1]/[(x + 1)^(1/2) + 1] lorsque x tend vers 0
= limite de {[(x + 1)^(1/2) - 1]*[(x + 1)^(1/2) + 1]}/{(x)*[(x + 1)^(1/2) + 1]} lorsque x tend vers 0
= limite de {[(x + 1)^(1/2)]^2 - 1^2}/{(x)*[(x + 1)^(1/2) + 1]} lorsque x tend vers 0
= limite de [(x + 1)^(1) - 1]/{(x)*[(x + 1)^(1/2) + 1]} lorsque x tend vers 0
= limite de [(x + 1) - 1]/{(x)*[(x + 1)^(1/2) + 1]} lorsque x tend vers 0
= limite de (x)/{(x)*[(x + 1)^(1/2) + 1]} lorsque x tend vers 0
= limite de 1/{[(x + 1)^(1/2) + 1]} lorsque x tend vers 0
= 1/{[(x + 1)^(1/2) + 1]} avec x = 0
= 1/{[(0 + 1)^(1/2) + 1]}
= 1/{[(1)^(1/2) + 1]}
= 1/(1 + 1)
= 1/2

[Manichéenne]

Pour la 3 : j'additionne les chances d'avoir deux vertes, deux rouges, ou deux jaunes. Il y a 3/9 chances de tirer une boule verte, puis 2/8 d'en tirer une deuxième, donc 3/9*2/8 de tirer deux boules vertes.
Pour les rouges 2/9*1/8, et pour les jaunes 4/9*3/8.
Et là, je réalise qu'on demande les probas d'avoir des couleurs différentes alors que j'ai calculé la proba d'avoir deux boules de même couleur.
Donc j'inverse : 1- (3/9*2/8+2/9*1/8+4/9*3/8)
Qui aurait été plus simple en calculant directement les chances de ne pas tirer une deuxième boule de la même couleur que la première (3/9*6/8)+(2/9*7/8)+(4/9*5/8)

[Lilette]

Soit la suite U définie telle que u[n+2] = a*u[n+1] + b*u[n],

On en arrive "donc" à l'équation :

y^(n+2) = a*y^(n+) + b*y^(n)

~y² = ay + b

En la résolvant comme une équation du second degré, on trouve :

y = (a + (a² + 4b)^(1/2))/2

y = le nombre d'or si a = 1 et b = 1 (cas de la suite de Fibonacci)

C'est à peu près ça qu'on a vu ensemble samedi, Ixy ?

En attendant d'être servi au restau avec un calepin et un stylo, normal quoi !

Oui c'était pas mal

[Ixy]

C'est juste freeshost