[Index Jeux] Enigmes, suites logiques et autres casse-têtes !

[Ixy]

Du coup, je relance

Combien de zéros y a t'il à la fin du nombre 100 x 99 x 98 x ... x 2 x 1 (qu'on écrit aussi 100!, il s'agit des 100 premiers nombres que l'on multiplie ensemble) ?

[G.O.B.]

Pour les zéros à la fin des factorielles, je me souviens qu'il y a une histoire de multiple de 5, mais c'est déjà loin la maths sup

[Ixy]

En effet

La question équivaut aussi à combien de fois on peut diviser par 10

Il n'y a que deux façons d'obtenir 10 par multiplication
10 = 10 x 1
10 = 2 x 5
La question est combien de fois est-ce qu'on peut faire apparaître dans 100! : ... x 10 x ... ou ...x 2 x 5 x ...

Tous les nombres pairs peuvent s'écrire 2 x ... Il y en a beaucoup!
Tous les nombres terminant par 5 peuvent s'écrire 5 x ...
Mais attention, 25 = 5 x 5, il donne deux fois le terme 5 !

[freeshost]

J'ai la solution !

24

[G.O.B.]

Le temps que j'écrive...

A partir de 5! 2x5=10 > 1 zéro à la fin
A partir de 10! 2x5x(2x5)=100 > 2 zéros à la fin
A partir de 15! 2x5x(2x5)x(2x5)=1000 > 3 zéros à la fin
A partir de 20! 2x5x(2x5)x(2x5)x(2x5)=10000 > 4 zéros à la fin
A partir de 25! 2x5x(2x5)x(2x5)x(2x5)x(2x2x5x5) > 6 zéros à la fin
A partir de 30! 2x5x(2x5)x(2x5)x(2x5)x(2x2x5x5)x(25) > 7 zéros à la fin
...

Donc autant de zéros à la fin que de multiples de 5 compris dans la factorielle.
Le piège serait de dire 100/5=20, mais il ne faut pas oublier les multiples de 5^2 compris dans 100! (25 50 75 et 100).
Donc 20+4 ou 16+8 = 24.

Bon, il doit exister une démonstration plus convaincante

[freeshost]

Pour ma part, je me suis dit :

A. Dans le produit des nombres entiers de 1 à 100, le facteur premier 2 est plus souvent utilisé que le facteur premier 5.
B. Or, comme pour obtenir un facteur 10, il faut autant de facteurs premiers 2 que de facteurs premiers 5, il suffit de trouver le nombre de facteurs premiers 5 nécessaires.
C. On pense bien sûr qu'il y a vingt multiples de 5.
D. Comme tu l'as dit, il ne faut pas oublier les nombres qui sont des multiples de 25, qui comptent pour deux facteurs premiers 5.
E. Comme il y en a quatre, il faut ajouter quatre facteurs premiers 5.
F. 20 + 4 = 24
G. Notons bien que, si nous devions aller jusqu'à 1'000!, il aurait fallu prendre en compte les multiples de 125 car 125 = 5³ .
H. Si on veut, on peut généraliser ta question pour t = 10^n (avec n nombre naturel).

[G.O.B.]

N'oublie pas 5^4=625...

Ca donnerait pour n! :
n/5+n/(5^2)+n/(5^3)+n/(5^4)+... en continuant tant que le dernier élément est >1 et en ne gardant que la partie entière pour l'addition...

[freeshost]

Oui, il est vrai qu'il y a un multiple de 5⁴ qui apparaît déjà avant le 10³.

Sinon, oui, il y a bien la somme des parts entières des quotients de 10^n par 5^m, avec m et n naturels non nuls, m allant de 1 à p, où :

p = part entière de (10^(m*log[10](5))) [Il n'y a pas le LaTeX sur ce forum. ]

[Ixy]

Bravo à tous les 2 , vous êtes allé largement plus loin que la réponse attendue

Vous pouvez généraliser en base quelconque si vous y arrivez (aucune idée de ce que ça donne je me suis pas penché dessus, mais l'idée doit rester la même je suppose)

[freeshost]

Bah... avec un peu de logarithme et d'exponentielle, ça doit pouvoir se faire, et un zeste de valeur absolue, du moment que l'on reste dans la marmite des nombres réels, ça peut aller. [Parce que, dans le bassin des nombres aux parties imaginaires...]

[freeshost]

Sur une table, six vers sont alignés, de A à F. Les verres A, C et E sont pleins tandis que les verres B, D et F sont vides.

Martin déplace un et un seul de ces six verres. Puis, tout à coup, les trois verres pleins se retrouvent côte-à-côte, et les trois verres vides se retrouvent aussi côte-à-côte.

Comment a-t-il fait ?

[G.O.B.]

Il verse E dans B et le remet à sa place

[freeshost]

Exactement ! Bien joué !

Un petit singe et un grand singe sont côte-à-côte. Le petit singe est le fils biologique du grand singe, mais le grand singe n'est pas le père biologique du petit singe. Comment cela se fait-il ?

[G.O.B.]

Le grand singe est le (arrière) grand père ?

[freeshost]

Non, c'est plus simple.